【どっちが大きい？】平方根の大小関係は「全体を2乗」で比べよう！

導入

√3 と √5、どちらが大きいと思いますか？
なんとなく「中身が大きいから √5？」と思っても、自信がない人も多いです。

実はこの問題、**「全体を2乗して比べる」**ことで簡単に判断できます。
この記事では、平方根の大小関係を確実に見分けるコツを解説します。

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結論

・√a と √b の大小を比べるには、両方を2乗して比べる！
→ aとbの大小関係を見ればOK

例：

√3 と √5 を比べたいなら、3と5を比べればよい → √5 の方が大きい

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なぜ2乗すれば比べられるのか？

√は「2乗して元に戻る」性質を持っています。

だから：

√3 < √5 ↔ 3 < 5

と変換してOK。

これは、両辺が正の数である限り、2乗は大小関係を保つという性質のおかげです。

→ 負の数が絡まない平方根なら、2乗して中身を比べればいいだけ！

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よくある間違いと注意点

• √3 ≒ 1.73、√5 ≒ 2.24 などと暗算しようとする： 覚えなくても2乗で判断できる
• 全体を2乗せずに、√の中だけを見る： 基本的には正解だが「全体を2乗」と覚えておくと応用が効く
• 負の数との比較や差に注意： 大きさの比較には必ず「正の平方根」であることを確認

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練習問題

問題1：次の大小関係を「2乗して」判断せよ

√2 と √3 → 2 < 3 → √2 < √3
√7 と √5 → 7 > 5 → √7 > √5

問題2：分数のルートの比較

√(1/2) と √(1/3) → 1/2 > 1/3 → √(1/2) > √(1/3)

問題3：混合型の比較（2√2と√18）

(2√2)² = 4×2 = 8
(√18)² = 18
→ 8 < 18 → 2√2 < √18

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まとめ

• 平方根の大小は「全体を2乗」して比べるのが安全
• 中身がわかればすぐ判断できるが、2乗ならどんな形にも対応可能
• 今後の式変形や文章題にもつながる重要な考え方