【中3数学】y=ax²とは？放物線の形・向き・特徴をわかりやすく解説

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導入

生徒にy=ax²の形を真っ先に見せてしまうと「曲線は無理」「絶対難しそう」というイメージがついてしまうことが多いです。
なぜその形になるのかの説明を先にしてあげることでスムーズに単元に入ることができます。


「y=ax²」と聞いて、グラフが“放物線”になるのは知っているけど、

• aが大きいとどうなるの？
• マイナスだとなんで下に開くの？
• 「比例y=ax」とどう違うの？

そんな疑問に答えるのがこの記事です。
今回は、二次関数の基本「y=ax²」の形と意味を、比例との比較でわかりやすく説明します。

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ポイント①：二次関数とは何か

• 一次関数：xを1回だけ掛けている（y=ax+b）
• 二次関数：xを2回掛けている（y=ax²+bなど）
  → 「x²」が出てきた時点で、グラフはカーブする！
• つまり“直線”ではなく、“放物線”になる。
• +bがないので必ず原点を通る。

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ポイント②：aの符号で向きが決まる

aの値	グラフの向き	特徴
a > 0	上に開く	谷型（U字）
a < 0	下に開く	山型（∩字）

x²のxには正の数・負の数のどちらをいれても必ず正の数になります。
なのでそこにかけるaの値の符号によってyの値の符号もそのまま決まります。

→ aの値がプラスなら「上に開く」、マイナスなら「下に開く」


＋２と−２など絶対値が同じ値をxに代入するとyの値は必ず同じになるためy軸を軸に左右対称になります。

→ 原点を通る左右対称な形になる。

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ポイント③：aの大きさでカーブの急さが変わる

	aが大きい（例：2,3）	aが小さい（例：1/2,1/3）
見た目	細くて急	広がってなだらか
理由	x²を掛けた結果、増え方が急	x²を掛けても値が小さい

→ y = 3x² は y = x² より急で細い
→ y = (1/2)x² は広くゆるやか

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まとめ

• y=ax² は「原点を通る放物線」
• aが正：上に開く／aが負：下に開く
• aの絶対値が大きい：細く急／aの絶対値が小さい：広くゆるやか