導入
今回は、x の変域と y の変域が与えられているときに a を求める問題を扱います。
特に、y の変域に 0 が含まれている場合に注目します。
結論から言うと──
y の変域の「0 ではない方」は、x の変域の端のうち「絶対値が大きい方」に対応する。
ポイント①：絶対値とは何か
「絶対値」とは、数の0からの距離を表す言葉です。
たとえば、−3 も 3 も 0 からの距離は3なので、どちらも絶対値は3になります。
つまり、符号を無視して数の大きさだけを見るということです。
ポイント②：なぜ「絶対値が大きい方」に対応するのか
関数 y＝ax² では、x の符号ではなく「x²」の大きさで y の大きさが決まります。
x が 0 のときは y も 0 になりますが、
x の絶対値が大きい方を入れると、x² の値が大きくなり、y も 0 ではない値になります。
したがって、
- x の変域に 0 が含まれているとき、
→ 0 は x＝0 に対応する。
→ 0 でない方の端は、x の絶対値が大きい方に対応する。
また、0 でない方の端の符号は a の符号と一致します。
ポイント③：手順は3ステップでOK
① x の絶対値が大きい方を決める。
② その値を y＝ax² に代入して「y端＝a×(その端)²」を作る。
③ それを y の 0 でない端と結びつけて a を求める。
例題①（a が正のとき）
x の変域：−3≦x≦1、 y の変域：0≦y≦27
x の絶対値が大きいのは 3（x＝−3）。
0 でない端の 27 は、この x＝−3 に対応します。
27＝a×(−3)²＝9a
→ a＝3
（0 でない端が正なので a は正）
例題②（a が負のとき）
x の変域：−2≦x≦5、 y の変域：−125≦y≦0
x の絶対値が大きいのは 5（x＝5）。
0 でない端の −125 は、この x＝5 に対応します。
−125＝a×5²＝25a
→ a＝−5
（0 でない端が負なので a は負）
ポイント④：0 を含まないときの整理
x の変域に 0 が含まれない（例：2≦x≦5）ときは、
x に2と5を入れて得られる2つの値を a に応じて並べます。
- a が正のとき：小さい方 ≤ y ≤ 大きい方
- a が負のとき：大きい方 ≤ y ≤ 小さい方
この並びを見れば、a の符号や対応関係がすぐに判断できます。
よくあるミスと対策
- 符号を取り違える：0 でない端の符号＝a の符号
- 絶対値の比較を忘れる：左端と右端、どちらの絶対値が大きいか必ず確認
- 対応関係を混乱する：「0 は x＝0」「0 でない方は絶対値が大きい方」をワンセットで覚える
まとめ
- y の変域に 0 があるときは、「0 でない方 ↔ 絶対値が大きい方」で対応させる。
- a の符号は、y の 0 でない端の符号と同じ。
- 0 を含まない場合は、x² の大きさで y の並びを判断する。
この考え方を押さえておくと、変域から a を求める問題を一瞬で見抜けるようになります。
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