【中3数学】置き換えによる因数分解のやり方｜(a−5)²−(a−5)−12のような式を整理するコツ

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導入

「(a−5)²−(a−5)−12」のような式を見て、
「どこから手をつければいいの？」と迷う生徒は多いですよね。

見た目は複雑ですが、実は 同じ式が何度も出てくるタイプ です。
こうしたときは「(a−5)を1つのかたまりとして置き換える」と、式が一気にシンプルになります。

この“置き換えの発想”は、中3因数分解の中でも特に重要で、
高校以降の「式の値」「グラフの平行移動」にもつながる考え方です。

この記事では、先生や保護者が教えやすいように、
置き換えを使った因数分解の手順と考え方をわかりやすく整理します。

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例題：(a−5)²−(a−5)−12 を因数分解せよ

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ステップ①：(a−5) を別の文字で置き換える

同じ形が何度も出てくるので、X = (a−5) と置きます。

「見た目が同じ式はひとまとめにして扱う」というのが置き換えの基本ルールです。

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ステップ②：式を書きかえる

(a−5)²−(a−5)−12 = X²−X−12

見た目が一気に簡単になり、通常の二次式の因数分解に変わりました。

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ステップ③：公式に当てはめて因数分解

X²−X−12 = (X−4)(X＋3)

ここでは「かけて−12、足して−1になる2数（−4と＋3）」を探すことがポイントです。

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ステップ④：X を元に戻す（カッコを忘れずに！）

(X−4)(X＋3)
= ((a−5)−4)((a−5)＋3)
= (a−9)(a−2)

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ポイント

置き換えは「見た目が同じ式をひとつのまとまりとして扱う」練習に最適です。
特に生徒は「(a−5)をXとおく」と言われると、“Xが勝手に出てくる”と思いがちなので、
「自分で“見抜いて置く”操作」 だと強調して教えると効果的です。

また、最後に元に戻すときにカッコを外し忘れるミスが多いので、

「置いたら戻す」「カッコは外さない」
の2点を板書で徹底しておくと、テストでも安定します。

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まとめ

• 同じ式が何度も出てきたら「かたまり」として置き換える
• 因数分解後は、必ず元の文字式に戻す（カッコを忘れずに）
• 置き換えは式の構造を見抜く力をつける練習にもなる

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