【√a × √b＝√ab はなぜ成り立つ？】平方根のかけ算・わり算を納得しよう

導入

√のついた数どうしの計算で、よく使う公式があります。

√a × √b = √(ab)

これは便利な公式ですが、なぜ成り立つのかを理解せずに使うと応用がききません。
この記事では、「2乗に戻す」「意味で理解する」ことを重視して、平方根の乗法と除法を解説します。

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結論

√a × √b = √(ab) は、**「2乗すると a と b になる数どうしの積」**だから成り立ちます。

たとえば：

√2 × √3 = √6  （なぜなら √2×√3 の2乗は (√2)²×(√3)² = 2×3 = 6）

→ 「それを2乗すれば ab になる」＝「√(ab)の定義と同じ」

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乗法のしくみを理解する

√a は「2乗して a になる数」。
√b は「2乗して b になる数」。

この2つをかけると：

（√a × √b）² = （√a）² × （√b）² = a × b

→ つまり「2乗して ab になる」＝「√(ab)」というわけです。

計算のルールではなく、“意味”として成立していることが重要です。

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除法も同じしくみ

√a ÷ √b = √(a ÷ b)

これも：

(√a ÷ √b)² = (√a)² ÷ (√b)² = a ÷ b

→ 2乗して a÷b になるので、「√(a÷b)」という意味と一致します。

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よくある間違いと注意点

• √a＋√b = √(a＋b) と思ってしまう： 足し算ではこのルールは使えない
• √の中を足してから開こうとする： ルートは「かけ算と割り算」でしか分けられない
• ルールだけ覚えて意味を考えない： 2乗に戻せば自然に理解できる

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練習問題

問題1：次の計算をせよ

√2 × √8 = √16 = 4  
√3 × √12 = √36 = 6

問題2：次の計算をせよ（分数）

√8 ÷ √2 = √4 = 2  
√18 ÷ √2 = √9 = 3

問題3：式が成り立つ理由を「2乗」で説明せよ

例：√5 × √7 の2乗 = 5 × 7 = 35 → √35 の定義と一致

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まとめ

• √a × √b = √(ab) は、2乗の性質から導ける
• 除法も同様に √a ÷ √b = √(a÷b)
• 意味で理解すると、丸暗記せずに自在に使える