【中3数学】x²＋6x＋9−y²の因数分解｜平方完成と差の2乗の組み合わせを見抜くコツ

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導入

「x²＋6x＋9−y²」のような形を見て、どこから手をつけるか迷ったことはありませんか？
この式は「平方完成」と「差の2乗」の2つが組み合わさったタイプで、
中3の入試問題や応用問題でも非常によく出てきます。

ポイントは、最初に“平方のかたまり”を見抜くこと。
これに気づくと、式が一瞬で整理されて、複雑そうに見える問題もスッキリ解けます。

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例題：x²＋6x＋9−y² を因数分解せよ

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ステップ①：前半部分を平方の形に直す

まず、x²＋6x＋9 の部分に注目します。
x の係数が 6 なので、その半分の 3 を使うときれいに平方の形になります。

x²＋6x＋9 = (x＋3)²

ここまで見抜けると、もう勝ちパターンです。

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ステップ②：式全体を書きかえる

元の式を (x＋3)²−y² の形に直すと、「2乗−2乗」になっているのがわかります。

x²＋6x＋9−y² = (x＋3)²−y²

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ステップ③：「a²−b²＝(a−b)(a＋b)」の公式を使う

(x＋3)²−y² = {(x＋3)−y}{(x＋3)＋y}
　　　　　= (x＋3−y)(x＋3＋y)

「差の2乗の形が出てきたら、すぐこの公式」と覚えておくと、どんな式でも応用できます。

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ポイント

この問題は生徒が「どこを平方完成するか」でつまずきやすいタイプです。
授業や家庭学習では、まず 「x²＋6x＋9 の部分だけを別紙で展開確認」 してから本体に戻すと理解が早くなります。

また、y²の位置が最後にあることで「全体が引き算の形になっている」ことを早めに意識させると、
次に学ぶ「平方の差の応用（x²＋ax＋b−y²タイプ）」にも自然に繋げられます。

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まとめ

• まずは 平方の形にできるか を考える
• 「2乗−2乗」の形が見えたら (a−b)(a＋b) の公式を使う
• このパターンはテストでも頻出。展開の逆として整理できれば完璧！

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