【面積の文章題②】展開図と体積から二次方程式を立てる問題に挑戦！

導入

図形の展開図を使った文章題では、「体積」や「面積」が文字を使って表されることがあります。
特に直方体の展開図をもとにして、辺の長さを文字で表すと、体積が二次式になることがあります。

この記事では、展開図から体積を文字式にして、二次方程式を作る方法を説明します。

---

例題：展開図と体積

ある長方形の紙があり、図のように切れ目を入れて折り曲げることで直方体の箱を作る。
このとき、できあがる箱の体積が最大になるようにしたい。

縦30cm、横20cmの長方形の紙から、四隅を正方形に切り取り、切り取る1辺の長さをx cmとする。

→ 高さ：x cm
→ 底面の縦：30 − 2x
→ 底面の横：20 − 2x

よって体積は：

V = x(30 − 2x)(20 − 2x)

この式を展開・整理すれば、二次方程式として扱える！

---

ポイント

• 展開図から「高さ」「底面の縦」「底面の横」を文字で表す
• 体積の公式：高さ × 底面の縦 × 底面の横
• 文字式のまま式を展開し、整理することで二次方程式になる

---

練習問題

問題1：

縦24cm、横16cmの長方形の紙から、四隅を正方形に切り取って箱を作る。
切り取る正方形の1辺をx cmとしたとき、できあがる箱の体積が400 cm³になるようなxの値を求めよ。

問題2：

縦20cm、横18cmの紙を使い、同様に切って箱を作るとき、体積が最大になるxの値を求めよ。

---

まとめ

• 展開図の問題では「切り取った部分の大きさ＝x」で式を立てる
• 体積の式は高さ×縦×横 → すべて文字式で表すと二次式に
• 整理してから方程式を立て、条件に合うxを求めよう