【√2はなぜ割り切れない？】平方根から“無理数”の世界へ

導入

√4 や √9 のように、きれいに整数になる平方根もあります。
でも、√2 や √3 を計算してみると、こうなります：

√2 ≒ 1.4142135…（ずっと終わらない）
√3 ≒ 1.7320508…（これも止まらない）

「えっ、割り切れないの？ じゃあどうやって使うの？」
そんな疑問を持ったことがある人に向けて、今回は**「無理数」**の意味と特徴を、平方根からやさしく解説します。

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結論

√2 や √3 のように、小数で表すことができない数を「無理数」と呼びます。

• 割り切れない（有限小数にならない）
• くり返しもしない（循環しない）
• 分数でも表せない（a/b の形にできない）

→ だから「“理屈が通らない”数」＝無理数と呼ばれます。

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無理数とは何か？

無理数： 分数（a/b の形）で表せない数のこと。

例：√2、√3、π（円周率）など

対して、有理数： 分数で表せる数（整数も含む）

例：1/2、3、−5、0.75（＝3/4）

つまり √2 のような数は「どこまでも続くけど、決まったパターンもない」から、近似して使うしかないということになります。

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√2はなぜ割り切れない？

それは、「2乗して 2 になる整数（または分数）が存在しない」からです。

1² = 1
1.5² = 2.25（行きすぎ）
1.4² = 1.96（近い）
1.414² = 1.999396…（もっと近い）

→ どれも「ピッタリ」にならない。

つまり √2 は「近い数をかけて近づける」ことはできても、正確にかけて2になる数はないということです。

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よくある間違いと注意点

• √2 = 1.41 と断定してしまう： 実際にはずっと続く近似値
• 無理数も分数で表せると思ってしまう： どんな a/b にしてもピッタリ一致しない
• 循環小数と無理数を混同： 循環小数は有理数、無理数は非循環で無限小数

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練習問題

問題1：次のうち、無理数なのはどれ？

(1) √9    (2) √2    (3) 3/4    (4) π
→ 答え：（2）と（4）

問題2：次の数を近似値で表せ（小数第2位まで）

√2 ≒ 1.41
√3 ≒ 1.73

問題3：√の値が有理数になるのはどんなとき？

→ 答え：中身（√の中）が「整数の2乗」のとき（例：√4＝2）

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まとめ

• √2や√3は、分数では表せない「無理数」
• 無理数は、割り切れず、くり返しもせず、終わらない
• √の中が「きれいな2乗でない」とき、平方根は無理数になる