【√を簡単にするには？】素因数分解を使ってルートを外に出そう

導入

これまでに、

√8 = 2√2、√18 = 3√2

のように、√の中を「簡単にする」操作を学びました。

今回はその応用として、素因数分解を使って√を外に出す方法を紹介します。
大きな数でも分解すれば簡単になるので、テストや入試でも非常に役立つテクニックです。

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結論

・√の中の数を素因数分解する
・同じ数が2つそろったら、それを1つ外に出せる（2乗になるから）

例：

√72 = √(2×2×2×3×3) = 2×3×√2 = 6√2
√50 = √(2×5×5) = 5√2

→ ペア（2乗）になったものだけ外に出せる！

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しくみの説明：2乗のペアを見つける

√72 → 素因数分解すると 2×2×2×3×3
→ 2のペアが1組、3のペアが1組 → 外に 2×3 = 6 が出せる
→ 残った2は中に残る → 6√2

このように「2個セットの数字＝2乗」を見つけて外に出すのがコツです。

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よくある間違いと注意点

• 素因数分解を途中でミスする： 正確に丁寧に分けることが大事
• 2乗になっていないのに外に出す： 1個だけでは外に出せない
• 最後にルートの中を簡単にし忘れる： 残った数に注意

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練習問題

問題1：次の数を素因数分解して√を簡単にせよ

√18 = √(2×3×3) = 3√2
√72 = √(2×2×2×3×3) = 6√2
√98 = √(2×7×7) = 7√2

問題2：√の外に出せる部分を明確に示せ

√200 = √(2×2×2×5×5) → 2×5 = 10 が外に → 10√2
√108 = √(2×2×3×3×3) → 2×3 = 6 が外に → 6√3

問題3：間違いを正せ

（誤）√72 = 12√2
（正）√72 = 6√2（外に出せるのは 2×3 = 6）

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まとめ

• √の中を素因数分解すると、外に出せる数が見つかる
• 2乗のペア（同じ数2つ）が見つかったら外へ出す
• 大きな数ほど素因数分解で整理すると計算しやすい