一次関数ってなに？｜比例とのちがいは「＋b」の存在

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はじめに：「比例と何が違うの？」という第一の壁

中1で比例・反比例を学んだ後、次に出てくるのが「一次関数」。
このとき生徒がよく言うのが、

「y = ax なら比例でしょ？
y = ax + b は…何が違うの？」

ここでのつまずきを防ぐには、比例との「つながり」と「ちがい」の両方を視覚的に伝えることが大切です。

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ポイント①：「y = ax + b」は“比例のバリエーション”

まず押さえるべきは、

一次関数＝比例の仲間だけど、スタートがズレてるバージョン

という位置づけ。

比例（y = ax）は常に原点（0,0）を通りますが、
一次関数（y = ax + b）は「スタート地点がy軸のどこか」にズレているだけです。

図で比べてみましょう：

【図】 
 
・y = 2x（比例）→ 原点からスタート、傾き一定  
・y = 2x + 3（一次関数）→ 傾きは同じ、でもy軸では3から始まる

→ グラフの形はどちらも直線。ただし通る場所が違う。

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ポイント②：bの正体は「スタート地点の高さ」

bは、y軸とぶつかる高さ（y切片）を表します。

• y = 2x + 3 → y軸の「3」の位置からスタート
• y = -x – 4 → y軸の「−4」からスタートして、右下がりに進む

この「＋b」のおかげで、どんな場所からでもスタートできる関数が作れるようになります。

つまり一次関数とは、比例に「自由なスタート地点」を加えたバージョンなんです。

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ポイント③：「直線だけど原点を通るとは限らない」がカギ

生徒には「比例との最大のちがい」をこう伝えると分かりやすいです。

• 比例：原点を通る直線
• 一次関数：原点を通らないかもしれない直線

グラフがまっすぐならどちらも「直線の関数」ですが、
原点を通るかどうかが、比例と一次関数の分かれ道です。

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まとめ：「比例＋b」＝一次関数という広がり

比例のようにまっすぐ進むけれど、bの値によってスタート地点がズレる。
それが一次関数です。

「比例をちょっと広げたもの」として一次関数を見せておくと、
生徒は「知らない世界」ではなく「続きの世界」として安心して入っていけます。

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