【中3数学】4x²＋12x＋9の因数分解｜くくれないときは平方の形を見抜こう

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導入

「4x²＋12x＋9のような式って、共通因数でもくくれないし、どうしたらいいの？」
生徒が最初に迷う代表的なパターンです。

このタイプの因数分解では、共通因数ではなく“2乗のかたまり” に注目します。
つまり「これは何かの2乗になっているんじゃないか？」という“形の見抜き力”がポイントです。

見た瞬間に「(2x＋3)² っぽい」と気づけるようになると、
展開公式とのつながりが一気に見えるようになります。

この記事では、4x²＋12x＋9を例に、
どうやって「平方の形」に気づくのか、先生や保護者にも教えやすい形で整理します。

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例題：4x²＋12x＋9 を因数分解せよ

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ステップ①：まず括れないことを確認

4x²＋12x＋9 には共通因数がありません。

「どの項にも共通する数や文字がないとき」は、他のパターン（平方など）を探します。

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ステップ②：両端の係数に注目

両端の項が「2乗のかたまり」になっていないか確認します。

4x² は (2x)²、9 は 3²。
このとき真ん中の12xが「2×2x×3」になっていれば、完全平方の形です。

→ 4x²＋12x＋9 = (2x＋3)² かも？

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ステップ③：展開して確認

(2x＋3)² = 4x²＋12x＋9 → 一致！

これで確定です。

4x²＋12x＋9 = (2x＋3)²

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ポイント

このタイプの問題では、最初に「共通因数がない＝詰んだ」と思ってしまう生徒が多いです。
そのときに、「じゃあ次は“形”を見よう」 と自然に切り替えられるように練習させるのがポイント。

また、展開公式「(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²」との往復練習をさせると、
“2×2x×3＝12x”の関係に気づきやすくなり、他の平方型も瞬時に見抜けるようになります。

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まとめ

• 共通因数でくくれなければ、2乗の形を疑う
• 両端の項が2乗、真ん中の符号も一致すればOK
• 「(a±b)²＝a²±2ab＋b²」公式を逆に使えるようにしよ

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