【解の公式とは？】なぜこの形になるのかを平方完成から理解しよう

導入

中学生で必ず習う「解の公式」。

x² + ax + b = 0

の形の方程式を、いちいち因数分解せずに一発で解ける便利な公式です。

でも、これを丸暗記して終わりではもったいない！
実は、解の公式は「平方完成」を利用して作られているんです。

この記事では、解の公式の導出を通して、なぜこの公式になるのかを丁寧に説明します。

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結論：解の公式

ax² + bx + c = 0 の解は
x = {-b ± √(b² - 4ac)} / 2a

この公式の意味と成り立ちを、これから見ていきましょう。

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平方完成から導いてみよう

元の式：

ax² + bx + c = 0

まず両辺を a で割る：

x² + (b/a)x + c/a = 0

次に平方完成：

x² + (b/a)x = (x + b/2a)² - (b/2a)²

これを元の式に戻す：

(x + b/2a)² - (b² / 4a²) + c/a = 0

整理して：

(x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²

平方根をとって：

x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a

最後に −b/2a を移項：

x = {-b ± √(b² - 4ac)} / 2a

→ これが「解の公式」！

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よくある間違い

• √の中が間違っている（b² – 4ac）を暗記ミス
• ±を書き忘れる
• 2aで割るのを忘れる

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練習問題

問題1：次の方程式を解の公式で解け

x² - 4x + 1 = 0
x² + 2x + 5 = 0

問題2：解の公式を自分で導出してみよう

ax² + bx + c = 0 を平方完成して、公式を導く練習

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まとめ

• 解の公式は「平方完成」から生まれた
• 意味がわかれば、ただの暗記よりずっと強い！
• 必要なときに使えるよう、仕組みも一緒に理解しよう