【（a＋b）（c＋d）の展開はなぜ4つの項が出るのか？】2項×2項の分配法則を丁寧に解説

導入

分配法則といえば、

a(b＋c) = ab＋ac

のような形を思い浮かべる人が多いでしょう。
でも、展開の単元に入ると突然こういう式が出てきます：

(a＋b)(c＋d) = ？？？

「どうすればいいの？」「なぜ4つの項になるの？」と戸惑う生徒も少なくありません。

この記事では、2項×2項のかけ算でなぜ4つの項が出るのかを、
分配法則の視点からていねいに解説します。

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結論

（a＋b）（c＋d）のような形は、
すべての項を1回ずつかけることで、4つの積が生まれます。

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展開：分配法則を2段階で使う

（a＋b）（c＋d）を分配法則で展開するときに、
まず　＋b　の部分を隠してみるといつもの　a(c+d)　の形が見えてくると思います。
次に a　の部分を隠して同様に　+b(c+d)　の形を考えると(符号まで含めるのがポイント)

(a＋b)(c＋d) = a(c＋d) ＋ b(c＋d)

ここでさらに分配法則を使うと：

a(c＋d) = ac＋ad  
b(c＋d) = bc＋bd

すべてまとめると：

(a＋b)(c＋d) = ac＋ad＋bc＋bd

4つの項が出てきました。

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よくある間違い

• 2つしかかけない人：a×c と b×d だけで終わってしまう
• 前の式の順にだけかける人：a×c、b×d だけで終わる（交差を見落とす）
• 順番がバラバラでごちゃごちゃになる人：ac＋bd＋ad＋bc のように書く（意味は同じでも見づらい）

→ 「すべての組み合わせを1回ずつ書く」ことが大事

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練習問題

問題1：（a−2）（b＋4） を展開せよ

(a−2)(b＋4) = a(b＋4)−2(b＋4)  
　　　　　　　= ab＋4a−2b−8

問題2：（x＋3）（x＋5） を展開せよ

(x＋3)(x＋5) = x(x＋5)＋3(x＋5)  
　　　　　　　　= x²＋5x＋3x＋15  
　　　　　　　　= x²＋8x＋15  ←同類項はまとめる

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まとめ

• 2項×2項のかけ算は、分配法則を2段階使うと理解できる
• 「すべての組み合わせを1回ずつかける」と自然に4つの項になる
• 項の順番にも注意して、見やすく丁寧に書こう

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