【（a＋3）（a＋2）はなぜ a²＋5a＋6 になるのか？】分配法則で展開の構造を理解しよう

導入

展開公式をいきなり暗記するのではなく、「なぜそうなるか」を意味から理解したい。

その第一歩として、（a＋3）（a＋2）のようにカッコの中の左側が全く同じ形の式を使って、分配法則だけで展開してみましょう。

これが理解できれば、（a＋b）²や（a−b）²などの展開公式もスッと頭に入ってくるようになります。

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結論

（a＋3）（a＋2）を分配法則で展開すると：

(a＋3)(a＋2) = a×a ＋ a×2 ＋ 3×a ＋ 3×2  
　　　　　　　　= a²＋2a＋3a＋6  
　　　　　　　　= a²＋5a＋6

→ 真ん中の項（2a＋3a）が合体して 5a になる構造をしっかり押さえましょう。

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よくある間違いと注意点

• 交差項を1つしか書かない： a×2 と 3×a の両方を書くことを忘れがち
• 2a＋3a のように「足す」理由が不明確： 両方に a が含まれるから同類項としてまとめられる
• （a＋b）²との混同： 異なる定数の組み合わせと、同じ項を2回かける場合の違いに注意

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似た形の練習で定着させよう

問題1：（x＋4）（x＋1）を展開せよ

(x＋4)(x＋1) = x²＋x＋4x＋4 = x²＋5x＋4

問題2：（m＋5）（m＋2）を展開せよ

(m＋5)(m＋2) = m²＋2m＋5m＋10 = m²＋7m＋10

問題3：（y＋6）（y＋3）を展開せよ

(y＋6)(y＋3) = y²＋3y＋6y＋18 = y²＋9y＋18

→ どの問題も「真ん中の項」が2つの交差積の和になっていることに注目。

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この形と展開公式とのちがい

（a＋3）（a＋2）は、公式で覚えるものではなく、分配法則で整理して得られる形です。

でもこの構造を理解できれば、（a＋b）² のような公式も意味ごと納得できます。

→ 同じ項を2回かけたとき（（a＋b）²）のパターンは、次の記事で扱います。

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まとめ

• （a＋3）（a＋2）のような形は、分配法則で自然に展開できる
• 真ん中の項（2a＋3a）に注目すると、展開の構造が見えてくる
• この感覚が身につけば、（a＋b）²や他の公式も理解しやすくなる