【面積の文章題①】動点によってできる面積の問題を二次方程式で解こう

導入

二次方程式の文章題では、図形の面積に関する問題もよく出ます。
特に「動点（動く点）」によって変化する面積は、関数的な考えと式の組み立てが重要です。

この記事では、動点によってできる面積を文字で表し、それを使って二次方程式を作る方法を解説します。

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例題：動点と面積

ある長方形ABCDがあり、点Pが辺AB上をAからBへ動いていく。
Pの位置をx cmとしたとき、三角形PDCの面積が24 cm²になるのは、xがいくつのときか？

※ AB = 10 cm, AD = 6 cm とする。

→ 三角形PDCの面積を文字で表す：

底辺 PD の長さ：x
高さ：AD = 6 cm

三角形の面積 = 1/2 × x × 6 = 3x

→ この面積が24になるので：

3x = 24 → x = 8

動点の位置 x が8のとき、三角形PDCの面積は24になる！

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変化が複雑な場合

底辺や高さが「x を使って表される長さ」になる場合もある。
たとえば、高さが (x − 2) cm のように、x の式で表されることがある。

例：

面積 = 1/2 × (x − 1) × (10 − x)

→ 展開して整理すれば、二次方程式に！

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ポイント

• 動点の位置を x とおく
• 底辺・高さを x を使って表す
• 面積の式を作り、与えられた値とイコールで結ぶ
• 展開・整理して二次方程式に

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練習問題

問題1：

長方形ABCDで、点Pが辺AB上を動き、Pの位置をx cmとする。
AB = 12 cm, AD = 5 cm。三角形PDCの面積が30 cm²になるときのxの値を求めよ。

問題2：

底辺 (x − 1)、高さ (6 − x) の三角形の面積が5 cm²になるとき、xの値を求めよ。

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まとめ

• 動点の面積問題は「動く位置を文字でおく」ところから
• 面積の公式（1/2 × 底辺 × 高さ）をそのまま活用
• 展開・整理で二次方程式を作り、解いていこう