【因数分解】差の2乗の型：(a−8)²−49 や (x＋5)²−(y−8)² の展開

導入

因数分解においてよく登場するのが「a²−b²＝(a−b)(a＋b)」の公式、いわゆる差の2乗の公式です。
平方の引き算が見えたら、すぐにこの形を思い出しましょう。

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例題①：(a−8)²−49 を因数分解せよ

ステップ①：49 を 7² と見抜く

(a−8)²−49 = (a−8)²−7²

ステップ②：差の2乗の公式に当てはめる

= {(a−8)−7}{(a−8)＋7}
= (a−15)(a−1)

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例題②：(x＋5)²−(y−8)² を因数分解せよ

ステップ①：これはそのまま差の2乗！

差の2乗の公式：a²−b²＝(a−b)(a＋b)

ステップ②：公式にあてはめる

= {(x＋5)−(y−8)}{(x＋5)＋(y−8)}
= (x＋5−y＋8)(x＋5＋y−8)
= (x−y＋13)(x＋y−3)

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まとめ

• 2乗の差を見抜けたら一瞬で因数分解できる
• 数だけでなく、式がまるごと2乗されていても使える
• 符号の処理を丁寧に（特に「−(y−8)」のような部分）